Порядок действий в математике

Порядок вычисления простых выражений

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7−3+6.

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7−3+6=4+6=10

Ответ: 7−3+6=10.

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 62·83?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17−5·63−2+42.

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30, потом 30 разделить на 3 и получить 10. После этого делим 4 на 2, это 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

17−5·63−2+42=17−10−2+2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17−10−2+2=7−2+2=5+2=7

Ответ: 17−5·63−2+42=7.

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом  или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах

Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3+1)·2+623−7.

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 62=36. Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3+1)·2+363−7.

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

(3+1)·2+363−7=4·2+363−7=8+12−7=13

Ответ: (3+1)·2+623−7=13.

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Преобразование десятичных дробей

Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!

Как перевести десятичную дробь в проценты

Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.

1% = 1/100 = 0,01

Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.

А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:

0,15 = 0,15 · 100% = 15%.

Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.

2/5 = 0,4
0,4 · 100% = 40%

8/25 = 0,32
0,32 · 100% = 32%

Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:

Преобразование десятичных дробей

Быстрая напоминалка:

Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.

Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).

Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!

Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.

Как решаем:

1. Читаем вслух: пять целых четыре десятых. «Четыре десятых» подсказывают, что в числителе будет 4, а в знаменателе — 10. В смешанном виде эта дробь выглядит так: 5 4/10.
2. А теперь сократим числитель и знаменатель на два (потому что можно) и получим: 5 2/5.

Ответ: 5,4 = 5 2/5.

Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.

Как решаем:

1. Читаем вслух: четыре целых пять тысячных. Значит 5 — идет в числитель, а 1000 — в знаменатель. В смешанном виде получается так: 4 5/1000. После сокращения: 4 1/200.

Ответ: 4,005 = 4 1/200.

Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.

Как решаем:

1. Читаем вслух: пять целых шестьдесят сотых. Отправляем 60 в числитель, а 100 — в знаменатель. В смешанном виде дробь такая: 5 60/100.
2. Сократим дробную часть на 10 и получим 5 6/10. Или можно вспомнить про свойство десятичной дроби и просто отбросить нули в числителе и знаменателе.

Ответ: 5,60 = 5 6/10.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:

1. Перепишем исходную дробь в новый вид: в числитель поставим исходную десятичную дробь, а в знаменатель — единицу. Например:
   • 0,35 = 0,35/1
   • 2,34 = 2,34/1
2. Умножим числитель и знаменатель на 10 столько раз, чтобы в числителе исчезла запятая. При этом после каждого умножения запятая в числителе сдвигается вправо на один знак, а у знаменателя соответственно добавляются нули. На примере легче:
   • 0,35 = 0,35/1 = 3,5/10 = 35/100
   • 2,34 = 2,34/1 = 23,4/10 = 234/100
3. А теперь сокращаем — то есть делим числитель и знаменатель на кратные им числа:
   • 0,35 = 35/100, делим числитель и знаменатель на пять, получаем 6/20, еще раз делим на 2, получаем итоговый ответ 3/10.
   • 2,34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.

Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!

Как посчитать проценты, разделив число на 100

Так вы найдёте числовой эквивалент 1%. Дальше всё зависит от вашей цели. Чтобы посчитать проценты от суммы, умножьте их на размер 1%. Чтобы перевести число в проценты, разделите его на размер 1%.

Пример 1

Вы заходите в супермаркет и видите акцию на кофе. Его обычная цена — 458 рублей, сейчас действует скидка 7%. Но у вас есть карта магазина, и по ней пачка обойдётся в 417 рублей.

Чтобы понять, какой вариант выгоднее, надо перевести 7% в рубли.

Разделите 458 на 100. Для этого нужно просто сместить запятую, отделяющую целую часть числа от дробной, на две позиции влево. 1% равен 4,58 рубля.

Умножьте 4,58 на 7, и вы получите 32,06 рубля.

Теперь остаётся отнять от обычной цены 32,06 рубля. По акции кофе обойдётся в 425,94 рубля. Значит, выгоднее купить его по карте.

Пример 2

Вы видите, что игра в Steam стоит 1 000 рублей, хотя раньше продавалась за 1 500 рублей. Вам интересно, сколько процентов составила скидка.

Разделите 1 500 на 100. Сместив запятую на две позиции влево, вы получите 15. Это 1% от старой цены.

Теперь новую цену разделите на размер 1%. 1 000 / 15 = 66,6666%.

100% – 66,6666% = 33,3333%.Такую скидку предоставил магазин.

Как посчитать проценты, составив пропорцию

Составлять пропорции — одно из наиболее полезных умений, которому вас научили в школе. С его помощью можно посчитать любые проценты. Выглядит пропорция так:

сумма, составляющая 100% : 100% = часть суммы : доля в процентном соотношении.

Или можно записать её так: a : b = c : d.

Обычно пропорция читается как «а относится к b так же, как с относится к d». Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Чтобы узнать неизвестное число из этого равенства, нужно решить простейшее уравнение.

Пример 1

Для примера вычислений используем рецепт быстрого брауни. Вы хотите его приготовить и купили подходящую плитку шоколада массой 90 г, но не удержались и откусили кусочек-другой. Теперь у вас только 70 г шоколада, и вам нужно узнать, сколько масла положить вместо 200 г.

Сначала вычисляем процентную долю оставшегося шоколада.

90 г : 100% = 70 г : Х, где Х — масса оставшегося шоколада.

Х = 70 × 100 / 90 = 77,7%.

Теперь составляем пропорцию, чтобы выяснить, сколько масла нам нужно:

200 г : 100% = Х : 77,7%, где Х — нужное количество масла.

Х = 77,7 × 200 / 100 = 155,4.

Следовательно, в тесто нужно положить примерно 155 г масла.

Пример 2

Пропорция подойдёт и для расчёта выгодности скидок. Например, вы видите блузку за 1 499 рублей со скидкой 13%.

Сначала узнайте, сколько стоит блузка в процентах. Для этого отнимите 13 от 100 и получите 87%.

Составьте пропорцию: 1 499 : 100 = Х : 87.

Х = 87 × 1 499 / 100.

Заплатите 1 304,13 рубля и носите блузку с удовольствием.

Простые задачи на увеличение числа на несколько единиц

1. Папа съел 5 порций мороженого, а сын на 3 больше. Сколько мороженого съел сын?
2. У Жучки в миске 2 косточки, а у Бульки на 4 больше. сколько косточек у Бульки?
3. В одной комнате 2 стула, а в другой на 3 стула больше. Сколько стульев во второй комнате?
4. В книжном шкафу помещается 6 полок, а в платяном шкафу на одну полку больше. Сколько полок в платяном шкафу?
5. Оксана исписала 5 тетрадей, а Кирилл на 2 тетради больше. Сколько тетрадей исписал Кирилл?
6. В первый день Катя прочитала 3 страницы, во второй на 5 страниц больше. Сколько страниц Катя прочитала за второй день?
7. У Серёжи 7 марок, а у Кости на 2 марки больше. Сколько марок у Кости?
8. У Оли 5 игрушек, а у Иры на 3 игрушки больше. Сколько игрушек у Иры?
9. У мамы были 4 плитки белого шоколада, а горького на 2 плитки больше. Сколько плиток горького шоколада было у мамы?
10. Ширина тесьмы 4 см, а ширина ленты на 5 см больше. Какова ширина ленты?
11. Длина синего отрезка 3 см, а красного на 5 см больше. Какова длина красного отрезка?
12. На потолке сидят 5 мух, а комаров на 4 больше. Сколько комаров сидит на потолке?
13. В букете 3 красные гвоздики, а белых на 5 гвоздик больше. Сколько белых гвоздик в букете?
14. В первом доме 6 окон, а во втором на 3 окна больше. Сколько окон во втором доме?
15. В первый день Максим нарисовал 5 слонов, во второй на 3 слона больше. Сколько слонов нарисовал Максим во второй день?
16. В 1«А» классе 8 мальчиков, а в 1«Г» на 2 мальчика больше. Сколько мальчиков в 1«Г» классе?
17. В шкафу стоят 3 банки клубничного варенья, а малинового на 6 банок больше. Сколько банок малинового варенья стоит в шкафу?
18. У Васи 7 наклеек, а у Егора на 3 наклейки больше. Сколько наклеек у Егора?
19. Кирилл нашёл 6 подберёзовиков, а лисичек нашёл на 3 больше. Сколько лисичек нашёл Кирилл?
20. Лодка проходит одно и то же расстояние по течению за 4 ч, а против течения на 1 ч больше. Cколько времени лодка плывёт против течения?

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Свойства вероятности:

• Вероятность достоверного события равна единице.
• Вероятность невозможного события равна нулю.
• Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Как рассуждаем:

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

P = 0/15 = 0

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное. 

Ответ: 0.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Как рассуждаем:

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m). 

Следовательно:

Ответ: 0,25.

Сложение и умножение вероятностей

Немного теории:

• Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В можно записать так: A ⊂ B.
• События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается так: А = В.
• Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события A₁, A₂,…, A_n образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство: 

P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1. Такие события (гипотезы) используют при решении задач на полную вероятность.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

1. только в одном справочнике;
2. только в двух справочниках;
3. во всех трех справочниках.

Как рассуждаем:

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Цикл Пока

Данный цикл предназначен для осуществления повторений, пока выполняется условие. Синтаксис цикла выглядит так:

Для выполнения очередного повторения Логическое выражение должно возвращать значение Истина. Это работает следующим образом:

1. Вычисляем значение Логического выражения. Если оно Ложь, цикл завершается. Если Истина:
2. Выполняем операторы цикла;
3. Возвращаемся на п. 1.

Пример 1. При помощи сообщения вывести пользователю цифры от 1 до 10.

Таким образом в цикле Пока нам необходимо не только выполнить требуемое действие, но и изменить переменную участвующую в проверке его условия. Если забыть это сделать, можно получить бесконечный цикл, который приведет к зависанию системы.

Пример 2. А теперь только не четные, в интервале от 1 до 100, в обратном порядке.

В примере используется операция %. Она получает остаток от деления одного числа на другое.

При помощи цикла Пока можно обойти массив или любую другую коллекцию в обратном порядке. Это необходимо не часто, но реализовать такой механизм при помощи других циклов проблематично. Рассмотрим такой механизм в примере 3.

Также цикл Пока часто используется для обхода выборки из результата запроса. У выборки для этого есть специальный метод Следующий(). Он осуществляет переход на следующую строку и возвращает Истина, если такая строка есть. Если же следующая строка отсутствует в выборке, метод возвращает Ложь. Нельзя забывать, что работу с запросом можно осуществлять только в серверной процедуре (или функции).

Пример 4. При помощи запроса выбрать всех пользователей, кроме недействительных. Обойти выборку циклом Пока.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

1. Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.

   6x −5x = 10

2. Приведем подобные и завершим решение.

   x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Как решаем:

1. Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

   −4x = 12 | :(−4)
   x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
Раскрываем скобки, если они есть. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую. Приводим подобные члены в каждой части уравнения. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• деление (:)

Операции отношения:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.

Возведение степень — операция умножения числа на самого себя несколько раз.

Основание степени — число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.

Показатель степени — число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель.

Степенью называется число, которое получается в результате взаимодействия основания и показателя степени.

• Запись: 34 = 81, где 3 — основание степени, 4 — показатель степени, 81 — степень.
• 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3

Вторая степень называется квадратом, третья степень — кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Извлечение корня — арифметическое действие, обратное возведению в степень.

• Запись: 4√81 = 3, где 81 — подкоренное число, 4 — показатель корня, 3 — корень.
• З^4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).
• 2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.

Как разделить десятичную дробь на натуральное число

1. Разделить целую часть десятичной дроби на это число.
2. Поставить запятую в частном и продолжить вычисление, как при обычном делении.

Пример 1. Разделить 4,8 на 2.

Как решаем:

1. Записать деление уголком.
2. Разделить целую часть на два. Записать полученный результат в частное и поставить запятую.
3. Умножить частное на делитель, записать, посмотреть на остаток от деления. Но мы еще не закончили, поэтому остаток «ноль» не записываем. Сносим 8 и делим её на 2.
4. Делим еще раз. Записываем полученную 4 в частном и умножаем её на делитель:

Ответ: 4,8 : 2 = 2,4.

Пример 2. Разделить 183,06 на 45.

Как решаем:

1. Записать деление уголком.
2. Разделить целую часть 183 на 45. Записать результат, поставить запятую в частном.
3. Записать результат разницы 183 и 180. Снести 0. Записать 0 в частное, чтобы снести 6.
4. Записать результат разницы 306 и 270. 36 не делится на 45, поэтому добавляем ноль и производим разницу.

Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.

Как разделить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.

Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.

Как решаем:

1. Записать 0,25 в виде обыкновенной дроби: 0,25 = 25/100.
2. Разделить дробь по правилам:

Ответ: 0,25 : 3/4 = 1/3.

Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.

Как решаем:

1. Записать 2,55 в виде обыкновенной дроби: 2,55 = 255/1000.
2. Записать 1 1/3 в виде обыкновенной дроби: 1 1/3 = 4/3.
3. Разделить дробь по правилам:

Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.

Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.

Как решаем:

1. Записать 0,8 в виде обыкновенной дроби: 0,8 = 8/10.
2. Умножаем по правилам: 2/5 ∗ 8/10 = 2/5 ∗ 4/5 = 8/25 = 0,32.

Ответ: 2/5 ∗ 0,8 = 0,32.

Пример 2. Умножить 0,28 на 6 1/4.

Как решаем:

1. Записать 6 1/4 в виде десятичной дроби: 6 1/4 = 6,25.
2. Умножаем по правилам: 0,28 ∗ 6,25 = 0,8.

Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.

А если нужно решить примеры с десятичными дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

• Калькулятор раз
• Два
• Три

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

Как решаем:

1. A — встреча с другом состоится, х и у — время прихода. Значит:
   0 ≤ х, у ≤ 60.
2. В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, которые лежат внутри квадрата ОАВС. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть: 
   y−x < 5, y > x
   x−y < 5, x > y.
3. Этим неравенствам удовлетворяют точки из области G — то, что выделено красным:
4. Тогда вероятность встречи равна отношению площадей области G и квадрата:
   P(A)=S_G/S_OABC= 60 * 60 — 55 * 5560 * 60 = 23144 = 0,16

Ответ: 0,16

У нас есть отличное онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся на пробное занятие!

Задачи на понятие «столько же»

1. У Коли 4 машинки, у Дениса столько же. Сколько всего машинок у мальчиков?
2. В одном стручке 5 горошин и в другом столько же. Сколько горошин в двух стручках?
3. На одной ветке 3 груши и на другой столько же. Сколько всего груш на двух ветках?
4. У папы 2 брата и столько же сестёр. Сколько всего братьев и сестёр у папы?
5. В конфетнице лежали 4 карамельки и столько же шоколадных конфет. Сколько всего конфет лежало в конфетнице?
6. У кошки 5 белых котят и столько же серых котят. Сколько всего котят у кошки?
7. На доске лежало 3 куска фиолетового мела и столько же кусков жёлтого. Сколько всего кусков мела лежало на доске?
8. На столе стояли 3 чашки и столько же блюдец. Сколько всего предметов стояло на столе?
9. В секции плавания занимались 4 девочки и столько же мальчиков. Сколько всего детей занимались в секции плавания?
10. У школы росли 3 берёзы. Дети посадили ещё столько же берёз. Сколько всего берёз стало у школы?
11. Кате на день рождения подарили 2 куклы, 6 зайчиков, а воздушных шариков столько, сколько кукол и зайчиков вместе. Сколько воздушных шариков подарили Кате?
12. На опушке леса росло 5 клёнов и 4 тополя, а сосен росло столько, сколько клёнов и тополей вместе. Сколько сосен росло на опушке леса?
13. Костя исписал за первую четверть 3 тетради, за вторую четверть 4 тетради, а за третью исписал тетрадей столько, сколько за первую и вторую четверти вместе. Сколько тетрадей исписал Костя за третью четверть? 
14. В букете 5 одуванчиков, 4 лютика, а васильков столько, сколько одуванчиков и лютиков вместе. Сколько васильков в букете?
15. На стоянке стояло 3 жёлтые машины, 7 зелёных, а красных машин столько, сколько жёлтых и зелёных вместе. Сколько красных машин стояло на стоянке?
16. Серёжа решил 2 задачи утром, 3 задачи днём, а вечером решил задач столько, сколько утром и днём вместе. Сколько задач решил Серёжа вечером?
17. Маше 6 лет, Кате 4 года, а Толе столько лет, сколько Маше и Кате вместе. Сколько лет Толе?
18. В первой группе 6 девочек, во второй группе 2 девочки, а в третьей столько, сколько в первой и второй группах вместе. Сколько девочек в третьей группе?
19. На первой клумбе 4 тюльпана, на второй 3 тюльпана, а на третьей клумбе столько, сколько на первой и второй клумбах вместе. Сколько тюльпанов растёт на третьей клумбе?
20. У рыжей кошки 4 котёнка, у серой 3, а у белой столько, сколько у рыжей и серой вместе. сколько котят у белой кошки?

Простые задачи на разностное сравнение

1. Эклер стоит 8 руб., а безе 6 руб. На сколько рублей безе дешевле эклера?
2. Косте 8 лет, Гале 9 лет. На сколько лет Галя старше Кости?
3. Ширина ремешка 2 см, а ширина ремня 7 см. На сколько сантиметров ремешок у´же ремня?
4. Маша нашла 6 грибов, а Света 9 грибов. На сколько больше грибов нашла Света?
5. Один арбуз весит 5 кг, а другой 8 кг. На сколько килограммов один арбуз легче другого?
6. Вася пробежал 7 км, а Петя 5 км. На сколько километров Вася пробежал больше, чем Петя?
7. Обхват ствола векового дуба 10 м, а сосны 3 м. На сколько метров больше обхват ствола дуба, чем сосны?
8. Гена купил 7 тетрадей в клетку и 5 в линейку. На сколько меньше тетрадей в линейку купил Гена?
9. Рыбак поймал 8 карасей и 2 щуки. На сколько больше он поймал карасей, чем щук?
10. В одном зоопарке было 10 крокодилов, в другом 7 крокодилов. На сколько больше крокодилов было в первом зоопарке?

Простые задачи на нахождение неизвестного слагаемого

1. На шахматной доске осталось 10 шашек, из них 7 шашек белых. Сколько чёрных шашек осталось на доске?
2. В наборе для труда 9 листов бумаги. Из них 3 листа белой бумаги. Сколько листов цветной бумаги в наборе для труда?
3. В саду 7 кустов красной и белой смородины. Белой смородины 2 куста. Сколько кустов красной смородины в саду?
4. У кошки родилось 6 серых и белых котят. Серых 3 котёнка. Сколько белых котят у кошки?
5. На полке 10 аудиокассет. Из них 4 аудиокассеты с песнями, а остальные со сказками. Сколько кассет со сказками на полке?
6. В гирлянде 8 лампочек. Из них 5 красных лампочек, а остальные фиолетовые. Сколько фиолетовых лампочек в гирлянде?
7. У наседки 7 цыплят. Из них 3 цыплёнка чёрных, а остальные жёлтые. Сколько жёлтых цыплят у наседки?
8. У Толи и Кости вместе 8 голубей. У Толи 5 голубей. Сколько голубей у Кости?
9. На дереве сидели 6 ворон. Из них одна ворона белая, остальные серые. Сколько серых ворон сидели на дереве?
10. На столе стояло 7 блюдец. Из них 3 блюдца красных, остальные белые. Сколько белых блюдец стояло на столе?
11. У Ани было 9 роз. 5 розовых, остальные белые. Сколько белых роз было у Ани?
12. На кустике висело 5 ягод земляники. 3 ягодки созрели, остальные ещё нет. Сколько незрелых ягод висело на кустике?
13. Лена испекла 9 пирожков. Из них 6 пирожков с грибами, остальные с рисом. Сколько пирожков с рисом испекла Лена?
14. Ире надо решить 7 задач. 3 задачи трудные, остальные лёгкие. Сколько лёгких задач надо решить Ире?
15. Володе подарили 6 видеокассет. Из них 4 кассеты с фильмами, остальные с мультфильмами. Сколько кассет с мультфильмами подарили Володе?
16. Серёже подарили 8 открыток. Из них 5 открыток с растениями, остальные с животными. Сколько открыток с животными подарили Серёже?
17. В кроссворде 9 слов. Маша знает 7 слов. Сколько слов Маша не знает?
18. У врача 8 пациентов. Четырёх пациентов он должен посетить сегодня. Сколько пациентов врач может посетить завтра?
19. Из сада принесли 5 корзин малины и крыжовника. Из них 3 корзины малины. Сколько принесли корзин крыжовника?
20. Гоша нашёл в лесу 8 грибов. Из них 5 поганок, а остальные сыроежки. Сколько сыроежек нашёл Гоша?

—————————-

1. На столе было 6 чашек. Когда ещё несколько чашек поставили на стол, их стало 10. Сколько чашек поставили на стол?
2. В пенале были 2 ручки. После того как в него положили ещё несколько ручек, в пенале стало 5 ручек Сколько ручек положили в пенал?
3. У Пети было 3 открытки. Ему подарили ещё несколько, и у мальчика стало 8 открыток. Сколько открыток подарили Пете?
4. У Насти в дневнике стояли 2 пятёрки. После того как она получила ещё несколько, их стало 8. Сколько пятёрок получила Настя?
5. На стоянке было 5 троллейбусов. Когда ещё несколько троллейбусов приехало, их стало 8. Сколько троллейбусов приехало?
6. У Марата было 7 книг про пиратов. Когда ему подарили ещё несколько книг, их стало 10. Сколько книг подарили Марату?
7. В парке было 7 кустов можжевельника. Когда посадили ещё несколько кустов, то в саду стало 10 кустов можжевельника. Сколько кустов посадили дополнительно?
8. 4 табуретки были покрашены. Когда покрасили ещё несколько табуреток, их стало 9. Сколько табуреток ещё покрасили?
9. У щенка было 2 игрушки. После того как для щенка купили ещё несколько игрушек, их стало 7. Сколько игрушек купили для щенка?
10. В зоопарке жили 3 жирафа. Привезли ещё несколько жирафов. Сколько жирафов привезли, если в зоопарке стало 6 жирафов?

Простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц

1. В букете 5 розовых пионов, а белых на 3 пиона меньше. Сколько белых пионов в букете?
2. На первом этаже расположено 6 квартир, а на втором этаже на 4 квартиры меньше. Сколько квартир на втором этаже?
3. Костя из 10 выстрелов попал в цель 8 раз, а Толя на 2 раза меньше. Сколько раз в мишень попал Толя?
4. В столовой были 4 кастрюли с кашей, а с компотом на одну кастрюлю меньше. Сколько кастрюль с компотом было в столовой?
5. Собрали 8 кг ягод малины, а ягод смородины на 3 кг меньше. Сколько килограммов ягод смородины собрали?
6. У бабушки Нины 6 горшков красной герани, а белой на 2 горшка меньше. Сколько горшков белой герани у бабушки Нины?
7. На крыше сидит 9 воробьёв, а голубей на 5 птиц меньше. Сколько голубей сидит на крыше?
8. Перед домом стоит 7 машин, а мотоциклов на 5 меньше. Сколько мотоциклов стоит перед домом?
9. Длина клумбы 5 м, а её ширина на 3 м меньше. Какова ширина клумбы?
10. Пока хлеб был мягким, он весил 9 кг, а когда зачерствел, вес его уменьшился на 2 кг. Узнай вес чёрствого хлеба.
11. Вася поймал 7 пескарей, а Олег на 3 пескаря меньше Сколько пескарей поймал Олег?
12. В первой группе 10 учеников, а во второй на 3 ученика меньше. Сколько учеников во второй группе?
13. В кружке рисования занимаются 9 детей, а в кружке бальных танцев на 3 человека меньше. Сколько детей занимаются в кружке бальных танцев?
14. Детёныш кобры находится в яйце 10 недель, а детёныш ужа на 4 недели меньше. Сколько недель находится в яйце детёныш ужа?
15. Масса яйца сороки 10 г, а масса яйца кукушки на 7 г меньше. Определи массу яйца кукушки.
16. В доме 7 кресел, а диванов на 4 меньше. Сколько диванов в доме?
17. Гриша съел 3 орешка, а Слава на 1 орешек меньше. Сколько орешков съел Слава?
18. Около дома растёт 10 берёз, а дубов на 6 меньше. Сколько дубов растёт около дома?
19. Творожный сырок стоит 6 руб., а глазированный на 2 руб. дешевле. Сколько стоит глазированный сырок?
20. Папа купил 9 кг картофеля, а лука на 6 кг меньше. Сколько килограммов лука купил папа?
21. Около школы посадили 7 кустов сирени, а жасмина на 3 куста меньше. Сколько кустов жасмина посадили?
22. Никита собрал 9 еловых шишек, а сосновых на 5 шишек меньше. Сколько сосновых шишек собрал Никита?