Как легко и просто научить ребенка делению

Изменение частного при изменении делимого и делителя

При рассмотрении
изменений частного в результате изменений делимого и делителя предполагается,
что действие деление происходит без остатка. В противном случае изменения могут
быть не такими, о которых идет речь ниже.

При увеличении делимого в определенное количество раз, частное увеличится в это же количество раз, а при уменьшении – уменьшится.

Если мы в примере \(\textcolor{red} {24\div 4=6}\) делимое увеличим, к примеру, в 3 раза, то мы можем переписать это выражение в виде \(\textcolor{red} {(24+24+24)\div 4}\). Используя свойство деления суммы на число, мы увидим, что теперь нам нужно сложить три слагаемых, каждое из которых равно начальному выражению: \(\textcolor{red} {24\div 4+24\div 4+24\div4}\). Отсюда очевидно, что результат будет больше начального в 3 раза.

Если мы в этом же примере \(\textcolor{red} {24\div 6}\) уменьшим делимое в 3 раза, то есть, разделим его на три равные части, то очевидно, что результат деления одной части на 6 будет в 3 раза меньше, чем результат деления трех таких же частей. Посмотрите сами. Начальное выражение \(\textcolor{red} {24\div 6}\) можно записать в виде: \(\textcolor{red} {(8+8+8)\div 6=8\div 6+8\div 6+8\div 6}\), а уменьшенное в 3 раза делимое даст нам только одно из трех таких слагаемых: \(\textcolor{red} {8\div 6}\).

При увеличении делителя в определенное количество раз, частное уменьшится в это же количество раз, а при уменьшении – увеличится.

Действительно, изменение
делителя означает, что делимое необходимо разделить на большее или меньшее
количество равных частей. Соответственно, если нужно разделить на большее число
частей, то каждая часть будет меньше, чем изначально, а если делить на меньшее
число частей, то каждая часть будет крупнее.

В случае одновременного изменения делимого и делителя, частное может вести себя по-разному, или же вообще оставаться без изменений. Если нужно узнать, станет оно больше или меньше, нужно сперва посмотреть, как частное изменится после изменения делимого, а потом – как изменится после изменения делителя.

При увеличении или уменьшении делимого и делителя в одинаковое количество раз, частное не меняется.

Связь деления с умножением, сложением и вычитанием

Когда мы выполняем находим
произведение двух чисел, эти числа нам известны, а от нас требуется найти
результат действия умножение. При делении (без остатка) нам известно
произведение двух чисел, а найти нужно такое число, которое при умножении на
известное данное число дает это самое произведение.

Следовательно, действие
деление является обратным действию умножения.

Справедливо также и
обратное, что действие умножение обратно действию деления. Таким образом:

Умножение и деление – это
взаимно обратные действия.

Связь деления с
умножением, а также со сложением и вычитанием прекрасно видна, если
рассмотреть, как с помощью этих действий можно выполнить действие деление.

Рассмотрим их на примере: 345 разделить на 69.

Деление двух чисел при помощи сложения

Чтобы узнать при помощи сложения, сколько раз число 69 содержится в 345, нужно складывать последовательно 69 до тех пор, пока не получим нужного нам числа:

\(\textcolor{red} {69+69=138}\) ;      \(\textcolor{red} {138+69=207}\);      \(\textcolor{red} {207+69=276}\);      \(\textcolor{red} {276+69=345}\).

Число 69 было слагаемым всего 5 раз, значит, \(\textcolor{red} {345\div 69=5}\) .

Деление двух чисел при помощи вычитания

Аналогично предыдущему способу, мы можем узнать, сколько раз в числе 345 содержится число 69, вычитанием. Для этого мы будем последовательно вычитать из 345 число 69 до тех пор, пока не получим нуль, и считать количество действий:

\(\textcolor{red} {345-69=276}\);      \(\textcolor{red} {276-69=207}\);      \(\textcolor{red} {207-69=138}\);     \(\textcolor{red} {138-69=69}\);      \(\textcolor{red} {69-69=0}\).

То есть, 69 от 345 можно отнять 5 раз, поэтому \(\textcolor{red} {349\div 69=5}\).

Деление двух чисел при помощи умножения

При помощи умножения узнать ответ на наш вопрос можно перебирая множитель числа 69 до тех пор, пока не получим заданное нам 345:

\(\textcolor{red} {69\cdot 2=138}\);     \(\textcolor{red} {69\cdot 3=207}\);      \(\textcolor{red} {69\cdot 4=276}\);     \(\textcolor{red} {69\cdot 5=345}\).

Искомое частное равно полученному множителю числа 69, то есть, 5.

Но эти три способа очень
громоздки, особенно если частное представляет собой очень большое число. Их
нужно знать только для того, чтобы понимать суть действия деления, суть тех
задач, которые решаются посредством него.

Деление на числа, заканчивающиеся нулями

Как и в случае с
умножением, деление чисел облегчается, если делитель заканчивается одним или
несколькими нулями. Рассмотрим два возможных случая:

• частный – когда делитель является единицей с нулями
• общий – когда делитель любое число, оканчивающееся нулями.

Рассмотрим первый случай.

Деление на единицу с любым количеством
нулей

Единица с любым количеством нулей – это не что иное как единица соответствующего разряда. Например, 10 – это 1 единица разряда десятков, 1000 – это одна единица разряда тысяч, 10000000 – 1 единица разряда десятков миллионов и т.д.

Следовательно, разделить число, к примеру, на 10, 1000, 10000000 и т.д. – это значит определить, сколько в нем содержится десятков, тысяч, десятков миллионов. А как узнать, сколько в каком-либо числе содержится единиц любого разряда я уже рассказывал в уроке разряды и классы. Для завершения действия деления нужно лишь записать в остаток число, которое получается из отбрасываемых нами цифр.

Например:

\(\textcolor{red} {75427916\div 10=7542791}\) (остаток 6); \(\textcolor{red} {75427916\div 1000=75427}\) (остаток 916); \(\textcolor{red} {75427916\div 10000000=7}\) (остаток 5427916).

Запишите:Чтобы разделить какое-нибудь число на единицу с любым количеством нулей, нужно отсчитать в делимом справа столько цифр, сколько нулей содержится в делителе; тогда все цифры, находящиеся слева от разделения, составят частное, а те, что справа – будут остатком.

Деление на число, оканчивающееся нулями

Рассмотрим на примере \(\textcolor{red} {284556\div 2800}\).

Делитель здесь не что иное как 28 сотен. Логично предположить, что эти 28 сотен могут хотя бы один раз содержаться только в сотнях делимого. Значит, нам нужно определить, сколько в делимом всего единиц разряда сотен, и разделить их на 28 единиц разряда сотен делимого. А отброшенные цифры десятков и простых единиц добавятся к остатку.

В числе 284556 всего 2845 сотен да еще 56 единиц. Разделим 2845 сотен на 28 сотен, получим частное 101 и 17 сотен неразделенными. Прибавив к неразделенным 17 сотням 56 единиц из делимого, получим 1756. В этом числе делитель 2800 не помещается ни один раз, значит, 1756 – это остаток: \(\textcolor{red} {284556\div 2800=101}\) (остаток 1756).

Запишите:Чтобы разделить какое-нибудь число на число, заканчивающееся нулями, нужно отбросить мысленно нули в делителе, в делимом тоже отбросить мысленно такое же количество цифр, как и нулей в делителе. Получившееся число в делимом разделить на получившееся число в делителе, а к остатку прибавить (снести) те цифры делимого, которые отбросили ранее.

Принцип деления для детей

Дальше приступают к формированию самого понимания, что деление – это процесс разделения чего-нибудь на одинаковые части. Проще всего обучить ребенка такому математическому действию – попросить разделить небольшое количество предметов между ним и членами семьи. Используя игровой подход, ему легче уловить суть самого процесса деления.

Так, например, просят разделить апельсин на дольки между ним и членами семьи, чтобы у всех было поровну. Сначала ребенок будет перекладывать по одной штучке. Потом нужно предложить ему подсчитать, сколько долек было изначально, и какое количество досталось каждому.

Надо показать ребенку, что уметь разделить предметы – значит разложить их таким образом, чтобы все получили поровну независимо от количества участников. При этом объясняют, что не всегда их можно разделить на одинаковые части. Приводят пример. Если 10 яблок разделить между папой, мамой и бабушкой, то каждый получит по 3 штуки, а 1 останется.

Чтобы процесс обучения давался ребенку более легко, можно использовать наглядный материал. Используйте счетные палочки, раскладывая их в отдельные «кучки», имитируя деление палочек на несколько равных частей. Можно использовать орешки, семечки, карандаши. Обязательное условие – учитесь играя.

После того, как ребенок усвоил саму суть принципа деления, надо начинать изучать математическую запись этой операции. Объясняют, что деление – операция противоположная умножению. Демонстрируют это с помощью таблицы умножения.

Например, 3х2=6. Надо повторить, что произведение данных чисел равно результату умножения. Потом показать, что операция деления, противоположная умножению и все это показать ребенку. Делят наше произведение «6» на множитель «3», и в результате будет другой множитель.

Задача родителей – объяснить юному дарованию таблицу умножения «наизнанку»

Очень важно, чтобы ребенок ее хорошо усвоил. Это знание будет просто необходимо для изучения деления в столбик

Смысл деления натуральных чисел с остатком

Отталкиваясь от общего представления о делении с остатком, несложно выяснить смысл деления с остатком натуральных чисел.

Сразу скажем, что в результате деления натурального числа a на натуральное число b с остатком получаются два числа, обозначим их c и d. Теперь разберемся со смыслом, который несут в себе числа a, b, c и d, откуда будет понятен и смысл деления с остатком.

Нам известно, что натуральные числа связаны с количеством. Пусть натуральное число a, которое мы делим, определяет количество предметов в исходном множестве, а натуральное число d определяет количество предметов, которые остаются в исходном множестве после деления с остатком. Осталось определиться с числами b и c. Здесь возможны два варианта.

• Если натуральное число b соответствует количеству предметов в каждом из множеств, полученных после деления, то число c показывает количество полученных множеств.
• Если же натуральное число b задает количество множеств, на которые делится исходное множество, то число c определяет количество предметов в каждом из этих множеств.

Приведем пример, поясняющих смысл деления натуральных чисел с остатком. При делении натурального числа 13 на натуральное число 4 получили числа 3 и 1. Этому примеру можно сопоставить две равноправные ситуации.

• 13 предметов нужно разложить в кучки по 4 предмета в каждой. При этом получится 3 таких кучки, и в исходном множестве останется один предмет.
• 13 предметов нужно разложить в 4 кучки. При этом в каждой кучке окажется по 3 предмета, а в исходном множестве останется 1 предмет.

Следует отметить, что натуральное число a можно разделить с остатком на любое натуральное число b. При этом в зависимости значений чисел a и b могут возникнуть следующие три ситуации.

1. Числа a и b могут быть такими, что a делится на b без остатка. Иными словами, все предметы исходного множества могут быть разделены в требуемые множества. После этого действия в исходном множестве не останется ни одного предмета, то есть, число d будет равно нулю. (Таким образом, деление без остатка является частным случаем деления с остатком).
2. Число a может быть меньше, чем число b. В этом случае из предметов в исходном множестве не получится составить ни одного требуемого множества, то есть, число c будет равно нулю, остаток при этом будет равен числу предметов в исходном множестве, то есть, d=a.
3. Число a может делиться на число b с остатком. В этом случае все числа a, b, c и d будут натуральными числами.

Таким образом, результатом деления натуральных чисел a и b с остатком являются два числа c и d, причем числа c и d либо натуральные, либо одно из них равно нулю.

Как объяснить ребенку деление и научить делить столбиком?

дети-школьники тренируются делить числа столбиком

Во-первых, учтите ряд вводных факторов:

• ребёнок знает таблицу умножения
• хорошо разбирается и умеет применять на практике действия вычитания и сложения
• понимает разницу между целым и его составными элементами

Дальше акценты в ваших действиях выглядят так:

• поиграйте с таблицей умножения. Положите её перед ребёнком и на примерах покажите удобство использования при делении,
• объясните расположение делимого, делителя, частного, остатка. Предложите ребёнку повторить эти категории,
• превратите процесс в игру, придумайте историю про цифры и действие деления,
• подготовьте наглядные предметы для обучения. Подойдут счётные палочки, яблоки, монеты, игрушки, очищенные сведение или апельсин. Предлагайте их распределить между разным количеством людей, например, между мамой, папой и ребенком,
• первым показывайте ребёнку действия с чётными числами, чтобы он видел результат деления, кратный двум.

Сам процесс освоения деления столбиком:

• запишите цифры, разделив их границами. Повторите с ребёнком расположение категорий деления,
• предложите ему проанализировать цифры делимого на предмет «больше-меньше» делителя. Помогайте вопросом — сколько раз одно число помещается во втором. В результате ребёнку следует выделить то число/числа, которые он будет применять для совершения первого действия,
• подскажите алгоритм определения разрядности частного. Её удобно изобразить точками, которые потом превратятся в цифры,
• помогите правильно определить и записать первое число в частное, совершите его умножение на делитель, запишите результат под делимым, выполните вычитание. Объясните, что результат вычитания всегда должен быть меньше делителя. В противном случае действие совершилось с ошибкой и его следует переделать,
• следующий шаг — анализ ситуации с добавлением второго числа от делимого и определения количества раз повторения делителя в нём,
• снова помогите с записью действия,
• продолжайте до момента, когда результат от разницы составит ноль. Это актуально только для деления чисел без остатка,
• закрепите знания у ребёнка еще несколькими примерами. Следите, чтобы он не устал, иначе дайте перерыв.

Сначала стоит доходчиво объяснить, что такое деление на простом примере. Суть математического действия — разложить число поровну. В 3-м классе дети хорошо учатся на доступных примерах: раздают кусочки торта гостям, рассаживают кукол по 2 машинам.

Когда малыш усвоит суть деления, покажите его запись на листке. Используйте уже знакомые задания с простыми числами:

• Сначала запишите задачу обычным способом: 250:2=?
• Каждому числу дайте название: 250 — делимое, 2 — делитель, результат после знака равно — частное.
• Затем сделайте сокращенную запись столбиком (уголком):

• Рассуждайте вместе так: сначала найдем неполное частное. Это будет 2, так как оно не меньше делителя, а вернее, равно ему. В этом числе помещается один делитель, значит, в частное записываем цифру 1 и умножаем ее на 2. Заносим полученный результат под делимым. Отнимаем 2-2. Получится ноль, поэтому сносим следующее число и опять подыскиваем частное. Совершаем математическое действие до тех пор, пока не получится ноль.
• После получения окончательного результат сделайте проверку с помощью умножения: 125х2=250.

Желательно научить третьеклассника рассуждать в процессе вычисления вслух, выполнять действия на черновике. Сначала проговаривайте алгоритм вместе, потом только слушайте ученика и помогайте исправить ошибки.

Итак, как объяснить ребенку деление столбиком:

• Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
• Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
• Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
• Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные

Описание

Примеры на деление с остатком сами по себе не сложные, но они требуют концентрации и внимания, особенно для очень торопливых детей. Практика счета таких примеров поможет развить внимательность и закрепить навыки счета больших чисел, а также добиться автоматизированного счета.

Программа представляет собой тренажер для решения примеров на деление с остатком. В результате нужно найти частное от деления и остаток, делимое или делитель.

Вид задания и уровень сложности:

1. Примеры на деление с остатком в пределах 100 или в пределах 1000:Печатается 2 столбика по 20 примеров: в первом столбике нужно найти частное от деления и остаток;во втором столбике нужно найти делимое или делитель.
2. Цепочки примеров в пределах 100 или в пределах 1000:Делимое следующего примера рассчитывается как делитель * остаток от деления + частное предыдущего примера (Пример: 86 : 4 = 21 (ост.2); Делимое следующего примера = 4 * 2 + 21 = 29). В этом случае проверка каждого примера не требуется, достаточно сверить итоговый ответ.

Программа счета написана в Excel с помощью макросов. С помощью генератора примеров можно создать и распечатать готовые карточки с примерами на деление с остатком для детей разного возраста и уровня подготовки: деление на однозначное, двузначное и трехзначное числа. Поэтому карточки с примерами подойдут как для детей начальной школы (3 и 4 класс), так и для детей более старшего возраста.

Формируются примеры на листе формата А4. Примеры генерируются случайным образом, количество генераций не ограничено. В конце карточки формируются ответы на примеры, которые после печати карточки можно отрезать. Нумерация карточек и ответов позволяет быстро находить ответы к каждой карточке, даже если их напечатано много.

Для ознакомления с программой можно бесплатно скачать примеры на деление с остатком, которые получаются при использовании программы. Для получения новой карточки примеров достаточно скачать, нажать на кнопку генерации и распечатать.

Другие программы, которые помогут закрепить навыки счета:

• • Деление с остатком на число (с выбором уровня сложности)
  • Умножение и деление по типам (табличное, внетабличное, круглых чисел)
  • Сложение и вычитание в столбик
  • Умножение в столбик
  • Деление в столбик
  • Умножение и деление в столбик
  • Порядок действий в пределах 1000 (все действия)
  • Сложные примеры на порядок действий
  • Выражения с именованными числами

На сайте представлен каталог программ, в котором все программы распределены по группам с указанием различий в программах внутри каждой группы. С помощью каталога Вы можете выбрать те программы, которые подходят именно Вам.

Основные связи между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления

Для установления этих связей сразу разберем конкретный пример.

У нас есть некоторое множество предметов, обозначим его буквой a. Распределим его по кучкам, количество которых равно b. Всего в каждой кучке у нас будет c предметов. Остаток обозначим d. В буквенном виде это выражение можно записать как ab=c (ост. d). Теперь проанализируем связи, которые есть в этом равенстве.

Если у нас есть значения делителя, неполного частного и остатка, мы можем найти делимое. Если мы объединим все имеющиеся кучки и добавим к ним остаток, то получим множество из исходного количества предметов.

Учитывая смысл умножения и сложения натуральных чисел, мы можем записать это в виде равенства c·b+d=a. А наличие у умножения и сложения переместительных свойств позволяет нам переформулировать его как a=b·c+d. Получается следующее правило:

Определение 3

Чтобы найти делимое, нужно сложить остаток с произведением делителя на неполное частное.

Верное равенство, полученное в итоге, будет полезно для решения задач с неизвестным делимым, то есть таких, где нужно найти исходное число предметов. Приведем пример:

Пример 5

Вычислите делимое, если неполное частное равно одиннадцати, остаток двум, а делитель семи.

Решение

Имеем b=7, c=11 и d=2. Это все данные, которые нам нужны для вычислений. Подставим нужные значения: b·c+d=7·11+2. Следуя правильному порядку выполнения математических действий, получим в итоге 7·11+2=77+2=79 (если нужно, повторите основы умножения и сложения натуральных чисел).

Ответ: делимое будет равно 79.

Если нужно проверить верность результата действия деления с остатком, то для этого мы также проверяем справедливость равенства a=b·c+d.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Если нам известны значения делимого, делителя и неполного частного, то мы можем найти остаток.

Вспомним, что остаток от деления, который мы выше договорились обозначить буквой d, представляет собой число элементов, оставшееся в исходном множестве после его разделения на равные части. Значит, d=a−b·c. Записать это равенство мы можем благодаря свойствам умножения и вычитания натуральных чисел. Сформулируем определение:

Определение 4

Чтобы найти остаток от деления одного натурального числа на другое, нужно вычесть из делимого произведение делителя на неполное частное.

У нас получилось буквенное выражение d=a−b·c, которое будет нам полезно при нахождении остатка от деления. Разберем такую задачу.

Пример 6

Мы разделили 67 на 15 и получили неполное частное 4. Вычислите остаток от деления.

Решение 

Имеем a=67, b=15, c=4. Если мы подставим в выражение a−b·c исходные значения, то сможем подсчитать остаток: 67−15·4. Поскольку 15·4=60, то 67−15·4=67−60=7.

Ответ: остаток от деления равен 7.

Мы также можем найти неполное частное, если знаем значение делимого, делителя и остатка. Исключим из исходного множества те элементы, которые образуют остаток. Благодаря свойствам вычитания натуральных чисел количество элементов в множестве мы теперь можем записать как a−d. После этого уже можно произвести деление без остатка, в результате которого получится b множеств по c элементов в каждом. Мы получили равенство (a−d)b=c. Его также можно записать в виде c=(a−d)b.

Определение 5

Если нужно найти неполное частное, нужно из делимого вычесть остаток и результат разделить на делитель.

Пример 7

Мы разделили 221 на 52 и получили остаток 13. Вычислите неполное частное.

Решение

Отнимем остаток от делимого и результат разделим на делитель. Считаем: (221−13)52=20852=4 (для подсчета мы использовали метод подбора частного).

Ответ: неполное частное равно 4.

Осталось разобрать последний случай: как быть, если нужно найти делитель при известных значениях делимого, остатка и неполного частного? Начнем опять же с исключения остатка из делимого, то есть запишем a-d. Вспомнив смысл деления одного натурального числа на другое, запишем следующее равенство: (a−d)c=b. Также будет верно b=(a−d)c. Сформулируем правило:

Определение 6

Найти делитель можно, если вычесть из делимого остаток и получившуюся разность разделить на неполное частное.

Возьмем пример решения такой задачи.

Пример 8

Было выполнено деление 877 на некоторое число с остатком 2, неполное частное при этом составило 35. Найдите значение делителя.

Решение

Вычтем остаток из делимого и получим 875. Результат нужно разделить на известное нам неполное частное 35. В итоге получится нужное нам значение делителя. Вычислим столбиком:

Ответ: делитель равен 25.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

В чем состоит смысл деления с остатком?

В случае натуральных чисел деление с остатком имеет следующий смысл. Мы уже знаем, что понятие натурального числа тесно связано с количеством чего-либо. Допустим, у нас есть некое число предметов (обозначим его a), а после его деления образуется остаток, условно d. У нас остались числа b и c. Есть два основных подхода к их обозначению:

1) если b –количество элементов в каждом равном множестве, полученном после деления, то c – это количество множеств, которое у нас получилось.

2) если  b – это количество множеств, то c – это число предметов в каждом из них.

Поясним нашу мысль на конкретных числах. Допустим, натуральное число 13 было разделено на 4. В итоге мы имеем два числа – 3 и 1. Мы можем рассмотреть эту ситуацию с двух сторон:

1) тринадцать предметов были сгруппированы по 4. У нас получилось 3 группы, а в исходном множестве остался всего 1 предмет;

2) тринадцать предметов разложили по 4 группам. У нас получилось, что в каждой группе по 3 предмета, а остаток равен 1.

Если натуральное число a всегда можно разделить с остатком на любое натуральное b, то можно выделить следующие ситуации:

1. A можно разделить на b без остатка, то есть все предметы можно разделить на равные множества. При этом «лишних» у нас не останется, тогда d будет равно . Получается, что деление без остатка – это частный случай деления с остатком.

2. A может быть меньше b. Тогда ни одного требуемого множества мы из него составить не можем, и число c будет равно нулю, а остаток равен a (то есть числу предметов в исходном множестве).

3.  A может делиться на b с остатком. Тогдазначения a, b, c и d будут натуральными числами.

Подводим итог:

Определение 2

Результат деления натуральных чисел a и b с остатком – это два числа c и d, которые либо оба являются натуральными, либо одно из них равно нулю.